固体物理导论

固体物理主要研究对象：$\text{晶}\text{体}$$\color{#0080FF}{晶体}$和$\text{晶}\text{体}\text{中}\text{的}\text{电}\text{子}$$\color{#0080FF}{晶体中的电子}$。研究的手段：$\mathrm{X}\text{射}\text{线}\text{衍}\text{射}$$\rm \color{#0080FF}{X射线衍射}$。

$(\text{下}\text{附}\mathrm{X}\text{射}\text{线}\text{衍}\text{射}\text{的}\text{科}\text{普}\text{视}\text{频})$$\rm \color{#0080FF}{(下附X射线衍射的科普视频)}$

晶体结构

晶体的基本特点

固体可分为$\text{晶}\text{体}$$\color{#0080FF}{晶体}$和非晶体，而$\text{晶}\text{体}$$\color{#0080FF}{晶体}$又分为$\text{单}\text{晶}\text{体}$$\color{#0080FF}{单晶体}$和$\text{多}\text{晶}\text{体}$$\color{#0080FF}{多晶体}$。¹

晶体有以下$\text{基}\text{本}\text{特}\text{点}$$\color{#0080FF}{基本特点}$：

• 组成晶体的原子按一定的方式$\text{规}\text{则}\text{排}\text{列}$$\color{#0080FF}{规则排列}$；
• 有固定的熔点；
• 单晶体具有方向性：$\text{各}\text{向}\text{异}\text{性}$$\color{#0080FF}{各向异性}$²。

原子的周期性阵列

理想晶体是由$\text{全}\text{同}$$\color{#0080FF}{全同}$的$\text{结}\text{构}\text{单}\text{元}$$\color{#0080FF}{结构单元}$在空间$\text{无}\text{限}\text{重}\text{复}$$\color{#0080FF}{无限重复}$而构成的。$\text{结}\text{构}\text{单}\text{元}$$\color{#0080FF}{结构单元}$可由单个原子³，多个原子或分子⁴组成。

⭐️$\text{基}\text{元}$$\color{#0080FF}{基元}$的定义：晶体结构用$\text{点}\text{阵}$$\color{#0080FF}{点阵}$来描述，在$\text{点}\text{阵}$$\color{#0080FF}{点阵}$的每个阵点上附有一群原子，这样一个原子群称为$\text{基}\text{元}$$\color{#0080FF}{基元}$。$\text{基}\text{元}$$\color{#0080FF}{基元}$在空间重复就形成晶体结构。

⭐️$\text{点}\text{阵}$$\color{#0080FF}{点阵}$的定义：由$\overrightarrow{r^{\prime }}=\overrightarrow{r}+u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}+w\overrightarrow{c}$$\ \overrightarrow{ r'} = \overrightarrow{r} + u {\color{red}{\overrightarrow{a}}} + v {\color{green}{\overrightarrow{b}}} + w {\color{blue}{\overrightarrow{c}}}\ $ 所确定的一族点$\overrightarrow{r^{\prime }}$$\ \overrightarrow{ r'}\ $就定义了一个$\text{点}\text{阵}$$\color{#0080FF}{点阵}$，点阵就是点在空间中$\text{周}\text{期}\text{性}$$\color{#0080FF}{周期性}$的规则排列，点阵是一种数学上的抽象，只有当原子基元以同样方式置于每个阵点上，才能形成晶体结构。

⭐️基本关系：$\text{基}\text{元}+\text{点}\text{阵}=\text{晶}\text{体}\text{结}\text{构}$${\color{#0080FF}{基元}}+{\color{#0080FF}{点阵}}=晶体结构$。⁵

面心立方晶格	例：氯化钠晶体结构

⭐️$\text{初}\text{基}$$\color{#0080FF}{初基}$平移矢量的定义⁶：u, v, w是整数，给定三个基本平移矢量$\overrightarrow{a}$$\ \color{red}{\overrightarrow{a}}\ $, $\overrightarrow{b}$$\ \color{green}{\overrightarrow{b}}\ $和$\overrightarrow{c}$$\ \color{blue}{\overrightarrow{c}}\ $。$\overrightarrow{r^{\prime }}=\overrightarrow{r}+u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}+w\overrightarrow{c}$$\overrightarrow{ r'} = \overrightarrow{r} + u {\color{red}{\overrightarrow{a}}} + v {\color{green}{\overrightarrow{b}}} + w {\color{blue}{\overrightarrow{c}}}$ ，即从任意一个阵点$\overrightarrow{r}$$\ \overrightarrow{r}\ $去观察原子排列时，同在$\overrightarrow{r^{\prime }}$$\ \overrightarrow{ r'}\ $观察到的原子排列在各方面都是一样的，且通过适当选择u, v, w，它们始终满足点阵定义方程，那么这个点阵和平移矢量$\overrightarrow{a}$$\ \color{red}{\overrightarrow{a}}\ $, $\overrightarrow{b}$$\ \color{green}{\overrightarrow{b}}\ $和$\overrightarrow{c}$$\ \color{blue}{\overrightarrow{c}}\ $就称为$\text{初}\text{基}$$\color{#0080FF}{初基}$的。

⭐️点阵平移操作定义：晶体通过晶体平移矢量⁷$\overrightarrow{\mathrm{T}}$$\ {\rm \overrightarrow {T}}\ $平行于自身的位移。

晶体的$\text{对}\text{称}\text{操}\text{作}$$\color{#0080FF}{对称操作}$⁸使晶体结构与自身重合。

⭐️$\text{初}\text{基}\text{晶}\text{胞}$$\color{#0080FF}{初基晶胞}$的定义：初基轴$\overrightarrow{a}$$\ \color{red}{\overrightarrow{a}}\ $, $\overrightarrow{b}$$\ \color{green}{\overrightarrow{b}}\ $和$\overrightarrow{c}$$\ \color{blue}{\overrightarrow{c}}\ $所确定的平六面体称为一个初基晶胞(单胞)，通过适当的平移操作，晶胞可以填充整个空间。

一个$\text{初}\text{基}\text{晶}\text{胞}$$\color{#0080FF}{初基晶胞}$是一个$\text{体}\text{积}\text{最}\text{小}$$\color{#0080FF}{体积最小}$的的晶胞，同一点阵，可以有$\text{许}\text{多}$$\color{#0080FF}{许多}$方式选择初基轴和对应的$\text{初}\text{基}\text{晶}\text{胞}$$\color{#0080FF}{初基晶胞}$，但$\text{初}\text{基}\text{晶}\text{胞}$$\color{#0080FF}{初基晶胞}$中的原子数目(密度)都是一样的。$\text{初}\text{基}\text{晶}\text{胞}$$\color{#0080FF}{初基晶胞}$中只含有一个阵点(平行六面体的8个角隅，1/8共享，体积为$\mathrm{V}=|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}|$${\rm V}=|\ {\color{red}{\overrightarrow{a}}}\times{\color{green}{\overrightarrow{b}}}\cdot{\color{blue}{\overrightarrow{c}}}\ |$)。

⭐️$\text{初}\text{基}\text{晶}\text{胞}$$\color{#0080FF}{初基晶胞}$的另一种选择方式，维格纳-赛兹原胞。把某个阵点同所有与它相邻的阵点用直线连接起来，在$\text{连}\text{线}\text{的}\text{中}\text{点}$$\color{#0080FF}{连线的中点}$处，作垂面和垂线，以这种方式围成的最小体积就是维格纳-赛兹原胞。

点阵的基本类型

晶体通常可以分为七大晶系，十四种布拉菲点阵⁹。

晶系	单胞基矢的特性	布拉菲点阵	图示	例
三斜晶系	$\alpha \ne \beta \ne \gamma \ne {90}^{\circ };a\ne b\ne c$$α≠β≠γ≠90^{\circ};a≠b≠c$	简单三斜		蔷薇辉石
$\text{单}\text{斜}\text{晶}\text{系}$$\color{#ae7000}{单斜晶系}$	$\alpha =\gamma ={90}^{\circ },\beta \ne {90}^{\circ };a\ne b\ne c$$α=γ=90^{\circ},β≠90^{\circ};a≠b≠c$	简单单斜		石膏、锂辉石
$\text{单}\text{斜}\text{晶}\text{系}$$\color{#ae7000}{单斜晶系}$	$\alpha =\gamma ={90}^{\circ },\beta \ne {90}^{\circ };a\ne b\ne c$$α=γ=90^{\circ},β≠90^{\circ};a≠b≠c$	底心单斜		石膏、锂辉石
$\text{正}\text{交}\text{晶}\text{系}$$\color{#003472}{正交晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a\ne b\ne c$$α=β=γ=90^{\circ};a≠b≠c$	简单正交		异极矿、黄玉
$\text{正}\text{交}\text{晶}\text{系}$$\color{#003472}{正交晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a\ne b\ne c$$α=β=γ=90^{\circ};a≠b≠c$	底心正交		异极矿、黄玉
$\text{正}\text{交}\text{晶}\text{系}$$\color{#003472}{正交晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a\ne b\ne c$$α=β=γ=90^{\circ};a≠b≠c$	体心正交		异极矿、黄玉
$\text{正}\text{交}\text{晶}\text{系}$$\color{#003472}{正交晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a\ne b\ne c$$α=β=γ=90^{\circ};a≠b≠c$	面心正交		异极矿、黄玉
$\text{三}\text{角}\text{晶}\text{系}$$\color{#c93756}{三角晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma <{120}^{\circ };a=b=c$$α=β=γ<120^{\circ};a=b=c$	三角		方解石
$\text{四}\text{方}\text{晶}\text{系}$$\color{#1bd1a5}{四方晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a=b\ne c$$α=β=γ=90^{\circ};a=b≠c$	简单四方		金红石、锆石
$\text{四}\text{方}\text{晶}\text{系}$$\color{#1bd1a5}{四方晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a=b\ne c$$α=β=γ=90^{\circ};a=b≠c$	体心四方		金红石、锆石
$\text{六}\text{角}\text{晶}\text{系}$$\color{#b35c44}{六角晶系}$	$\alpha =\beta ={90}^{\circ },\gamma ={120}^{\circ },a=b\ne c$$α=β=90^{\circ},γ=120^{\circ},a=b≠c$	六角		霞石
$\text{立}\text{方}\text{晶}\text{系}$$\color{red}{立方晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a=b=c$$α=β=γ=90^{\circ};a=b=c$	简单立方
$\text{立}\text{方}\text{晶}\text{系}$$\color{red}{立方晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a=b=c$$α=β=γ=90^{\circ};a=b=c$	体心立方		氯化铯
$\text{立}\text{方}\text{晶}\text{系}$$\color{red}{立方晶系}$	$\alpha =\beta =\gamma ={90}^{\circ };a=b=c$$α=β=γ=90^{\circ};a=b=c$	面心立方		氯化钠

晶面指数系统

⭐️$\text{晶}\text{列}$$\color{#0080FF}{晶列}$：点阵中的所有点全部位于一系列相互平行的直线上，这些直线称为晶列。

⭐️$\text{晶}\text{向}$$\color{#0080FF}{晶向}$：表示晶列的方向，从一个阵点$O$$O$沿某个晶列到另一阵点$P$$P$作位移矢量$\overrightarrow{\mathrm{R}}=l_1\overrightarrow{a}+l_2\overrightarrow{b}+l_3\overrightarrow{c}$${\rm \overrightarrow {R}} = l_{1} {\color{red}{\overrightarrow{a}}} + l_{2} {\color{green}{\overrightarrow{b}}} + l_{3} {\color{blue}{\overrightarrow{c}}}$。

⭐️$\text{晶}\text{向}\text{指}\text{数}$$\color{#0080FF}{晶向指数}$[mnp]：晶向矢量在三晶轴上投影的互质整数，同类晶向记为$<\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{p}>$$\rm \color{#0080FF}{<mnp>}$。譬如 <100>，在正方晶系中，上述晶向族中包含的晶向有$[100]、[\overline{1}00]、[010]、[0\overline{1}0]、[001]、[00\overline{1}]$$[100]、[{\bar1}00]、[010]、[0{\bar1}0]、[001]、[00{\bar1}]$六个晶向。

⭐️$\text{晶}\text{面}$$\color{#0080FF}{晶面}$：点阵中的所有阵点全部位于一系列相互平行等距的平面上，这样的平面系称为晶面。

⭐️$\text{晶}\text{面}\text{指}\text{数}$$\color{#0080FF}{晶面指数}$(hkl)：h、k、l是晶面与三晶轴的截距倒数的互质整数，也称为密勒指数。

找出在轴$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}$$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}$上，以点阵常数度量的截距。这些轴可以是初基的也可以是非初基的。取这些截距的倒数，然后化成与之具有同样比例的三个互质整数，将结果写在括号里(hkl)。

截距无限大，相应的指数就是零，若一个晶面截晶轴于原点的负侧，则相应的指数就是负的，在其上方放置符号作为标记，例如$(\mathrm{h}\overline{\mathrm{k}}\mathrm{l})$$\rm(h\bar{k}l)$。

常见晶体结构范例

晶体	布拉菲点阵	图示	晶体结构	描述
Si	面心立方			Si金刚石结构：面心立方+2 Si原子，两套面心立方沿对角线平移1/4套构而成。
ZnS(闪锌矿)	面心立方			闪锌矿结构：两套面心立方沿对角线平移1/4套构而成，一套为Zn，一套为S。

简单点阵：基元含有一个原子；复式点阵：基元含有一个以上原子。

每一节最后，均附上复旦大学蒋玉龙老师的《半导体物理学》的录播课。

$\text{特}\text{别}\text{声}\text{明}：\text{该}\text{网}\text{页}\text{中}\text{所}\text{有}\text{的}\text{文}\text{字}\text{内}\text{容}，\text{版}\text{权}\text{均}\text{归}\text{蒋}\text{玉}\text{龙}\text{老}\text{师}\text{所}\text{有}。$$\color{red}{特别声明：该网页中所有的文字内容，版权均归蒋玉龙老师所有。}$

晶体衍射和倒易点阵

这一节所叙述的方法告诉我们$\text{怎}\text{样}\text{描}\text{绘}\text{原}\text{子}\text{分}\text{布}\text{和}\text{围}\text{绕}\text{原}\text{子}\text{的}\text{电}\text{子}\text{分}\text{布}$$\color{#0080FF}{怎样描绘原子分布和围绕原子的电子分布}$。